【題目】過拋物線y2＝4x焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,且|AB|＝4,若原點O是△ABC的垂心,則點C的坐標為_____．
【答案】
【解析】
由題意設直線AB的方程,與拋物線聯立求出兩根之和,由拋物線的性質可得弦長|AB|的表達式,再由題意可得參數的值,進而求出直線的方程,代入拋物線的方程求出A,B的坐標,由O為三角形ABC的垂心可得C在x軸上,設C的坐標,由OA⊥BC,可得數量積為0,求出C點的坐標．
解：顯然直線AB的斜率不為0,
由題意設直線AB的方程為：x＝my+1,設A（x1,y1）,B（x2,y2）,
聯立直線AB與拋物線的方程
,
整理可得y2﹣4my﹣4＝0,y1+y2＝4m,所以x1+x2＝4m2+2,
由拋物線的性質可得|AB|＝x1+x2+2＝4m2+4,
由題意可得4m2+4＝4,所以m＝0,即直線AB垂直于x軸,
所以可得A（1,2）,B（1,﹣2）,
因為原點O是△ABC的垂心,所以C在x軸上,設C（a,0）,可得AO⊥BC,即
0
即（1,2）（1﹣a,﹣2）＝0,整理可得：1﹣a﹣4＝0,解得a＝﹣3,
所以C的坐標為：,
故答案為：．
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【題目】對于數列
，若存在
，使得
對任意
都成立，則稱數列為“
折疊數列”.
（1）若
，
，判斷數列
，
是否是“ 折疊數列”，如果是，指出m的值；如果不是，請說明理由；
（2）若
，求所有的實數q，使得數列是3-折疊數列；
（3）給定常數
，是否存在數列
使得對所有，都是
折疊數列，且的各項中恰有
個不同的值，證明你的結論.
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【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長為2,側棱長為2
,過點A作一個與側棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.
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【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為
（
為參數），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為
．
（1）寫出曲線C1和C2的直角坐標方程；
（2）已知P為曲線C2上的動點，過點P作曲線C1的切線，切點為A，求|PA|的最大值．
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【題目】在平面直角坐標系中，曲線
：
（α為參數）經過伸縮變換
得到曲線
，在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程；
（2）設點P是曲線上的動點，求點P到直線l距離d的最大值.
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【題目】如圖，四棱錐
的側棱
與四棱錐
的側棱
都與底面
垂直，
，
，
，
，
，
.
（1）證明：
平面
；
（2）在棱
上是否存在點M，使平面
與平面
所成角的正弦值為
？如果存在，指出M點的位置；如果不存在，請說明理由.
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【題目】已知數列
滿足奇數項
成等差，公差為
，偶數項
成等比，公比為
，且數列的前
項和為
，
，
.
若
，
.
①求數列的通項公式；
②若
，求正整數
的值；
若
，
，對任意給定的，是否存在實數
，使得
對任意
恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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