Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=a，AB=2a，E、F分）別為C₁D₁、A₁D₁的中點．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AF∥平面BDE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直：DE⊥BC，DE⊥EC從而得到線面垂直．
（Ⅱ）要證線面平行，需要構造線面平行的判定定理的條件：在平面BDE內找一條與AF平行的直線，通過平行關系的相互轉化可的線線平行繼而得到線面平行．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵BC⊥側面CDD₁C₁，DE?側面CDD₁C₁，
∴DE⊥BC，（3分）
在△CDE中，CD=2a，a，則有CD²=CE²+DE²，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥EC，（6分）
又BC∩EC=C
∴DE⊥平面BCE．（7分）
（Ⅱ）證明：連EF、A₁C₁，連AC交BD于O，
∵EF，AO，
∴四邊形AOEF是平行四邊形，（10分）
∴AF∥OE（11分）
又∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（14分）
點評：本小題主要考查空間線面關系，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，是個中檔題，注意輔助線的作法．