Question

已知圓 ,若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

試題分析：，

(1)從圓的標準方程得到圓心的坐標即為橢圓的右頂點,即可得到a值，再由橢圓離心率、a值結合、abc之間的關系可得到b值,即得到橢圓的標準方程

(2)聯立直線與橢圓方程并利用弦長公式可用斜率k表示弦長|AB|,|GH|.由對稱性得到|AB|=|GH|,得到r關于k的表達式,再根據表達式可以利用函數值域求法中的換元法解得r的取值范圍.

試題解析：

(1)設橢圓的焦距為2C，因為a=,,,所以橢圓C的方程為.

(2)設A,聯立直線與橢圓方程得,則,又因為點M()到直線l的距離d=。所以,顯然若點H也在直線AB上,則由對稱性可知,直線y=kx就是y軸與已知矛盾,所以要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,所以,

當k=0時,，當k時, ,由于,綜上.

考點：橢圓方程極其性質 弦長