Question

設函數f（θ）=2

3

cos²

θ

2

-

3

-2sin

θ

2

cos

θ

2

，
（1）若

π

6

≤θ≤

4π

3

，求f（θ）的最大值和最小值
（2）若f（θ）=

8

5

，θ為銳角，求sin（2θ+

π

12

）

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦函數與二倍角的正弦，以及兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，通過θ的范圍求出函數的最值．
（2）通過f（θ）=

8

5

，θ為銳角，求出sin（

π

3

-θ），通過二倍角求出sin（2θ-

2π

3

），利用sin（2θ+

π

12

）=sin（2θ-

2π

3

+

3π

4

）求解即可．

解答：解：因為函數f（θ）=2

3

cos²

θ

2

-

3

-2sin

θ

2

cos

θ

2

=

3

cosθ-sinθ=2sin（

π

3

-θ）．
（1）因為

π

6

≤θ≤

4π

3

，-π＜

π

3

-θ≤

π

6

，
當

π

3

-θ=-

π

2

時，f（θ）取最小值-2；
當

π

3

-θ=

π

6

時，f（θ）取最大值1．
（2）f（θ）=2sin（

π

3

-θ）=

8

5

．sin（

π

3

-θ）=

4

5

．
因為-

π

6

＜

π

3

-θ＜

π

3

，
∴cos（

π

3

-θ）=

3

5

，
sin（2θ-

2π

3

）=-

24

25

，cos（2θ-

2π

3

）=-

7

24

，
∴sin（2θ+

π

12

）=sin（2θ-

2π

3

+

3π

4

）
=sin（2θ-

2π

3

）cos

3π

4

+cos（2θ-

2π

3

）sin

3π

4

=-

24

25

×(-

2

2

)-

7

24

×

2

2

=

17 2

50

．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，同角三角函數的基本關系式的應用，三角函數的值的求法，考查計算能力．