Question

設函數f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

，x∈[0，π]．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求f（x）的最小值及f（x）取最小值時x的集合；
（3）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）把x=

π

3

代入利用特殊角的三角函數值計算即可；
（2）利用兩角和的正弦余弦公式及倍角公式化簡并利用三角函數的單調性即可得出；
（3）利用復合函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）f(

π

3

)=cos(

π

3

+

2π

3

)+2cos2

π

6

=-1+2(

3

2

)2=

1

2

．
（2）f(x)=cosxcos

2π

3

-sinxsin

2π

3

+1+cosx=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1=sin(

π

6

-x)+1．
因為x∈[0，π]，所以-

5π

6

≤

π

6

-x≤

π

6

，所以-1≤sin(

π

6

-x)≤

1

2

．
所以函數f（x）的最小值為0．
此時

π

6

-x=-

π

2

，即x=

2π

3

．所以x的取值集合為

2π

3

．
（3）由（2）可知：f(x)=-sin(x-

π

6

)+1，x∈[0，π]．
由

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，取k=0，得

2π

3

≤x≤

3π

2

，
∴[

2π

3

，

3π

2

]∩[0，π]=[

2π

3

，π]．
所以，函數f（x）的單調遞增區間是[

2π

3

，π]．

點評：熟練掌握兩角和的正弦余弦公式、倍角公式、三角函數的單調性、復合函數的單調性是解題的關鍵．