Question

已知某二次函數f（x）圖象過原點，且經過（-1，-5）和（2，4）兩點，
（Ⅰ）試求f（x）函數的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在區間[3，7]上的單調性，并用單調函數的定義進行證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f（x）過原點，設f（x）=ax²+bx，
由題意，圖象經過（-1，-5）和（2，4）兩點∴
解得：f（x）=-x²+4x
（Ⅱ）函數f（x）在[3，7]上為單調遞減函數
證明：任取x₁＜x₂∈[3，7]f（x₁）-f（x₂）=（-x₁²+4x₁）-（-x₂²+4x₂）=（x₂²-x₁²）+（4x₁-4x₂）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+4（x₁-x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-4）x₁＜x₂∈[3，7]，x₂+x₁＞6，x₂-x₁＞0∴（x₂+x₁-4）＞0∴f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-4）＞0∴f（x₁）＞f（x₂），而x₁＜x₂∈[3，7]∴函數f（x）在[3，7]上為單調遞減函數
分析：（Ⅰ）求f（x）函數的解析式，由于函數性質已知故可用待定系數法設出其解析式，再代入（-1，-5）和（2，4）兩點，求參數．
（Ⅱ）判斷f（x）在區間[3，7]上的單調性，并用單調函數的定義進行證明，故此題解題過程是先判斷再證明，由二次函數的性質判斷出結果再利用定義法證明即可．
點評：本題考查待定系數法求函數的解析式及利用定義證明函數的單調性，是函數中對性質考查的基本題型，尤其是第二問要注意解題的格式，先判斷，再證明．