Question

已知兩個正數a，b，可按規則c=ab+a+b擴充為一個新數c，在a，b，c三個數中取兩個較大的數，按上述規則擴充得到一個新數，依次下去，將每擴充一次得到一個新數稱為一次操作．若p＞q＞0，經過6次操作后擴充所得的數為（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n為正整數），則m+n的值為

 

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Answer 1

分析：p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1；第二次得：c₂=（p+1）²（q+1）-1；所得新數大于任意舊數，故經過6次擴充，所得數為：（q+1）⁸（p+1）¹³-1，故可得結論．

解答：解：因為p＞q＞0，所以第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，
因為c＞p＞q，所以第二次得：c₂=（c₁+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）²（q+1）-1，
所得新數大于任意舊數，所以第三次可得c₃=（c₂+1）（c₁+1）-1=（p+1）³（q+1）²-1，
第四次可得：c₄=（c₃+1）（c₂-1）-1=（p+1）⁵（q+1）³-1，
故經過6次擴充，所得數為：（q+1）⁸（p+1）¹³-1，
因為經過6次操作后擴充所得的數為（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n為正整數），
所以m=8，n=13，
所以m+n=21．
故答案為：21．

點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，求出經過6次操作后擴充所得的數是關鍵．