Question

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=

sin2xsinx

1-cosx

；
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx；
（3）y=2cos(

π

3

+π)+2cosx．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)y=

sin2xsinx

1-cosx

為y=2cos²x+2cosx，然后配方整理求出最值；
（2）令t=sinx+cosx，推出t²=1+2sinxcosx，化簡(jiǎn)y=sinx+cosx+sinxcosx，為y=

1

2

(t+1)2-1．根據(jù)t的范圍求出函數(shù)的最值；
（3）利用兩角和的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)y=2cos(

π

3

+π)+2cosx，然后利用兩角和的余弦函數(shù)推出y=2

3

cos(x+

π

6

)．然后求出最值．

解答：解：（1）y=

2sinxcosxsinx

1-cosx

=

2cosx(1-cos2x)

1-cosx

=2cos²x+2cosx=2(cos+

1

2

)2-

1

2

．
于是當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)取得y_max=4，但cosx≠1，
∴y＜4，且y_min=-

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=-

1

2

時(shí)取得．故函數(shù)值域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">[-

1

2

，4)．
（2）令t=sinx+cosx，則有t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=

t2-1

2

．
有y=f（t）=t+

t2-1

2

=

1

2

(t+1)2-1．又t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴-

2

≤t≤

2

．故y=f（t）=

1

2

(t+1)2-1（-

2

≤t≤

2

），
從而知：f（-1）≤y≤f（

2

），即-1≤y≤

2

+

1

2

．即函數(shù)的值域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">[-1，

2

+

1

2

]．
（3）y=2cos(

π

3

+x)+2cosx=2cos

π

3

cosx-2sin

π

3

sinx+2cosx=3cosx-

3

sinx
=2

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)=2

3

cos(x+

π

6

)．
∵|cos(x+

π

6

)|≤1
∴該函數(shù)值域?yàn)閇-2

3

，2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的最值的求法，二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的應(yīng)用，換元法的應(yīng)用，（2）是難度較大題目．