Question

求下列函數的值域：
（1）y=

x2

x2+1

；                  
 （2）y=2x+

x+1

．

Answer 1

分析：（1）由于函數y=1-

1

x2+1

，且0＜

1

x2+1

≤1，故有 0≤1-

1

x2+1

＜1，由此求得函數的值域．
（2）由于函數y=2x+

x+1

 在它的定義域{x|x≥-1}內是增函數，當x=-1時，函數有最小值等于-2，
當X趨于+∞時，y趨于+∞，從而得到函數的值域．

解答：解：（1）由于 y=

x2

x2+1

=

x2+1-1

x2+1

=1-

1

x2+1

，
∵0＜

1

x2+1

≤1，∴0≤1-

1

x2+1

＜1，故函數y=

x2

x2+1

的值域為[0，1）．

（2）由于函數y=2x+

x+1

 的定義域為{x|x≥-1}，且函數在其定義域內是增函數，
故當x=-1時，函數有最小值等于-2，當X趨于+∞時，y趨于+∞，
故函數的值域為[-2，+∞）．

點評：本題主要考查利用常數分離法求函數的值域，以及利用函數的單調性求函數的值域，屬于中檔題．