Question

設函數，其中常數a＞1，f（x）=x³-（1+a）x²+4ax+24a
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數進行求導，根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減可確定函數的單調性．
（2）先將問題轉化為求函數在x≥0時的最小值問題，再結合（1）中的單調性可確定f（x）在x=2a或x=0處取得最小值，求出最小值，即可得到a的范圍．
解答：解：（1）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）
由a＞1知，當x＜2時，f'（x）＞0，
故f（x）在區間（-∞，2）是增函數；
當2＜x＜2a時，f'（x）＜0，
故f（x）在區間（2，2a）是減函數；
當x＞2a時，f'（x）＞0，
故f（x）在區間（2a，+∞）是增函數．
綜上，當a＞1時，f（x）在區間（-∞，2）和（2a，+∞）是增函數，
在區間（2，2a）是減函數．
（2）由（1）知，當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．
=，f（0）=24a
由假設知
即解得1＜a＜6
故a的取值范圍是（1，6）
點評：本題考查導數與函數的綜合運用能力，涉及利用導數討論函數的單調性．