Question

（本題滿分12分）如圖，橢圓C方程為 （）,點為橢圓C的左、右頂點。

（1）若橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3，最小值為1，求橢圓的標準方程；

（2）若直線與（1）中所述橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左、右頂點），且滿足,求證：直線過定點，并求出該點的坐標。 

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2)

【解析】

試題分析：解：（1） 由題意知    橢圓的標準方程為

（2）設，由…….（1）

聯立方程

 帶入（1）式整理的

所以得，

當時，滿足。此時，直線恒過點

當時，滿足。此時，直線恒過點不符合題意，舍。

所以，直線恒過定點。

考點：橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系

點評：解決該試題的關鍵是利用橢圓性質來求解方程，同時能利用韋達定理和垂直關系得到結論，屬于中檔題。