Question

3．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點上，
（1）求證：MN∥PC；
（2）求證：平面MNQ∥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）利用底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點上，連接AC，可得MN是三角形ACP的中位線，可得MN∥PC．
（2）面面平行轉化為線線平行，證明一個平面內的兩天直線分別平行另一個平面，并且這兩條直線要相交，求利用三角形ADP的中位線MQ∥PB，MN∥PC，可得平面MNQ∥平面PBC．

解答 解：（1）由題意：P-ABCD是四棱錐，底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別是PA，BD，PD的中點上，連接AC，∴N是AC的中點．
∴MN是三角形ACP的中位線，
∴MN∥PC．
（2）由（1）可得MN∥PC．
∵M，Q分別在PA，PD的中點上，
∴MQ是三角形ADP的中位線，
∴MQ∥PB．
由MQ∥PB，MN∥PC，PB?平面PBC，PC?平面PBC，PB∩PC=P，
同理MQ?平面MNQ，MN?平面MNQ，MQ∩MN=M．
∴平面MNQ∥平面PBC．

點評 本題考察了線線平行和面面平行的證明，利用了三角形的中位線這性質．比較基礎題．