Question

如圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點(diǎn)．那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：根據(jù)已知中直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點(diǎn)．我們分析滾動過程中，M，N的位置與大圓及大圓圓心的重合次數(shù)，及點(diǎn)M，N運(yùn)動的規(guī)律，并逐一對四個答案進(jìn)行分析，即可得到答案．

解答：解：如圖，由題意可知，小圓O₁總與大圓O相內(nèi)切，且小圓O₁總經(jīng)過大圓的圓心O．
設(shè)某時刻兩圓相切于點(diǎn)A，此時動點(diǎn)M所處位置為點(diǎn)M′，則大圓圓弧

MA

與小圓點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的圓弧相等．
以切點(diǎn)A在如圖上運(yùn)動為例，記直線OM與此時小圓O₁的交點(diǎn)為M₁，記∠AOM=θ，則∠OM₁O₁=∠M₁OO₁=θ，故∠M₁O₁A=∠M₁OO₁+∠OM₁O₁=2θ．
大圓圓弧

MA

的長為l₁=θ×1=θ，小圓圓弧

AM 1

的長為l2=2θ×

1

2

=θ，即l₁=l₂，
∴小圓的兩段圓弧

AM 1

與圓弧

AM′

長相等，故點(diǎn)M₁與點(diǎn)M′重合，
即動點(diǎn)M在線段MO上運(yùn)動，同理可知，此時點(diǎn)N在線段OB上運(yùn)動．
點(diǎn)A在其他象限類似可得，M、N的軌跡為相互垂直的線段．
觀察各選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合．故選A．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中分析出M，N的位置與大圓及大圓圓心的重合次數(shù)，以及點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的弧長與切點(diǎn)轉(zhuǎn)過的弧長相等是解答本題的關(guān)鍵．