Question

對于函數f(x)＝ax²(b＋1)x＋b－2(a≠0)，若存在實數x₀，使f(x₀)＝x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點．

(1)當a＝2，b＝－2時，求f(x)的不動點；

(2)若對于任何實數b，函數f(x)恒有兩相異的不動點，求實數a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)的圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且直線y＝kx＋是線段AB的垂直平分線，求實數b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)， 　　(1)當a＝2，b＝－2時，f(x)＝2x2－x－4． 　　設x為其不動點，即2x2－x－4＝x． 　　則2x2－2x－4＝0． 　　∴x1＝－1，x2＝2．即f(x)的不動點是－1，2． 　　(2)由f(x)＝x得ax2＋bx＋b－2＝0． 　　由已知，此方程有相異二實根，Δa＞0恒成立，即b2－4a(b－2)＞0． 　　即b2－4ab＋8a＞0對任意b∈R恒成立． 　　∴Δb＜0，∴16a2－32a＜0． 　　∴0＜a＜2． 　　(3)設A(x1，x1)，B(x2，x2)，

提示：

分析：(1)將a、b之值代入f(x)，則f(x)為具體函數，根據題意，只需解方程f(x)＝x，其根即為不動點；(2)要考慮用判別式及恒成立問題來處理；(3)涉及到關于點、線的對稱問題，可借助于解析法(坐標法)解決． 　　解題心得：本題是2002年上海春招試題的改編題，第(1)問是很容易的，只要理解了“不動點”，即f(x)＝x的根，余下的便是解方程問題；對于ax2＋bx＋c＞0，x∈R恒成立問題，即是可轉化為解不等式(組)；第(3)問題解決的切入點是線段AB的中點在直線上．因為要求b的范圍，故將b視為a的函數，利用均值定理求得b的最小值．