Question

“我們稱使f(x)＝0的x為函數y＝f(x)的零點．若函數y＝f(x)在區間[a，b]上是連續的、單調的函數，且滿足f(a)·f(b)<0，則函數y＝f(x)在區間[a，b]上有唯一的零點”．對于函數f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1.

(1)討論函數f(x)在其定義域內的單調性，并求出函數極值；

(2)證明連續函數f(x)在[2，＋∞)內只有一個零點．

Answer 1

解析　(1)f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1的定義域為(－1，＋∞)，

且f′(x)＝－2x＋2＝，f′(x)＝0⇒x＝2(－2舍去)．

 

x	(－1,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－
f(x)		極大值	

由表可知，f(x)在區間(－1,2]上單調遞增，在[2，＋∞)上單調遞減．

∴當x＝2時，f(x)的極大值為f(2)＝6ln3－1.

(2)證明：由(1)知f(2)＝6ln3－1>0，f(x)在[2,7]上單調遞減．

又f(7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0，

∴f(2)·f(7)<0.

∴f(x)在[2,7]上有唯一零點．

當x∈[7，＋∞)時，f(x)≤f(7)<0.

故x∈[7，＋∞)時，f(x)不為零．

∴y＝f(x)在[7，＋∞)上無零點．

∴函數f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1在定義域內只有一個零點．