Question

已知x∈R，函數f（x）=x+

a

x+1

（x∈[0，+∞）），求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：函數f（x）=x+

a

x+1

（x∈[0，+∞）），求函數f（x）的最小值，探討函數的單調性，根據函數的單調性求得函數的最小值；而函數的單調性與參數a的取值有關，因此要對a取值進行分類討論．

解答：解：設x₁、x₂是[0，+∞）內任意兩個實數，且x₁＜x₂則
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

a

x1 +1

-x₂-

a

x2+1

=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

=（x₁-x₂）（1-

a

(x1+1)( x2+1)

）．
（i）當a＜1時，
1-

a

(x1+1)( x2+1)

=

x1x2+x1+x2+1-a

(x1+1)(x2+1)

＞0，（x₁-x₂）（1-

a

(x1+1)( x2+1)

）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0
因此，f（x）在[0，+∞）上時單調遞增函數，故（f（x））_min=f（0）=a．
（ii）當a≥1時，
f（x）=x+

a

x+1

=（x+1）+

a

x+1

-1≥2

a

-1．
當且僅當x+1=

a

x+1

，即x=

a

-1（

a

-1∈[0，+∝））時，等號成立．
于是，（f（x））_min=f（

a

-1）=2

a

-1．
所以，（f（x））_min=

a(a＜1) 2 a -1(a≥1)

．

點評：考查了應用函數單調性的定義探討函數的單調性，注意：設x₁、x₂是[0，+∞）內任意兩個實數，體現了分類討論的數學思想；應用函數的單調性求函數的最值也是常考的知識點，屬難題．