Question

（2012•閔行區一模）將邊長分別為1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第1個、第2個、…、第n個陰影部分圖形．設前n個陰影部分圖形的面積的平均值為f（n）．記數列{a_n}滿足a₁=1，an+1=

f(n)，當n為奇數 f(an)，當n為偶數

．
（1）求f（n）的表達式；
（2）寫出a₂，a₃的值，并求數列{a_n}的通項公式；
（3）記b_n=a_n+s（s∈R），若不等式

.

1       0 0 0     bn bn+2 bn+1 bn+1 bn+1

.

＞0有解，求s的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，第1個陰影部分圖形的面積為2²-1²，第2個陰影部分圖形的面積為4²-3²，…，第n個陰影部分圖形的面積為（2n）²-（2n-1）²，從而可得f（n）的表達式；
（2）a₁=1，a₂=f（1）=3，a₃=f（a₂）=2×3+1=7，當n為偶數時，a_n=f（n-1）=2n-1，當n為大于1的奇數時，a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+1=4n-5，由此可得結論；
（3）由（2）知b_n=

1+s．n=1 2n-1+s，n為偶數 4n-5+s，n為大于1的奇數

，根據

.

1       0 0 0     bn bn+2 bn+1 bn+1 bn+1

.

＞0，可得b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＞0，再分類討論，即可求得s的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，第1個陰影部分圖形的面積為2²-1²，第2個陰影部分圖形的面積為4²-3²，…，第n個陰影部分圖形的面積為（2n）²-（2n-1）²．（2分）
故f（n）=

(22-12)+…+[(2n)2-(2n-1)2]

n

=2n+1                 （4分）
（2）a₁=1，a₂=f（1）=3，a₃=f（a₂）=2×3+1=7，
當n為偶數時，a_n=f（n-1）=2n-1，（3分）
當n為大于1的奇數時，a_n=f（a_n-1）=2a_n-1+1=4n-5，
故a_n=

1．n=1 2n-1，n為偶數 4n-5，n為大于1的奇數

．                     （5分）
（3）由（2）知b_n=

1+s．n=1 2n-1+s，n為偶數 4n-5+s，n為大于1的奇數

．
又

.

1       0 0 0     bn bn+2 bn+1 bn+1 bn+1

.

＞0，∴b_n+1b_n-b_n+1b_n+2=b_n+1（b_n-b_n+2）＞0．
（ⅰ）當n=1時，即b₂（b₁-b₃）=（3+s）（-6）＞0，于是3+s＜0，∴s＜-3
（ⅱ）當n為偶數時，[4（n+1）-5+s][（2n-1+s）-（2n+3+s）]=（4n-1+s）（-4）＞0
于是4n-1+s＜0，∴s＜（-4n+1）_max=-7．      （3分）
（ⅲ）當n為大于1的奇數時，
即[2（n+1）-1+s][（4n-5+s）-（4n+3+s）]=（2n+1+s）（-8）＞0
于是2n+1+s＜0，∴s＜（-2n-1）_max=-7．        （5分）
綜上所述：s＜-3．                        （7分）

點評：本題考查歸納推理，考查學生的閱讀能力，考查數列通項的求解，考查分類討論的數學思想，綜合性強．