Question

15．已知a＞1，b＞0，且a+b=2，求$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 a＞1，b＞0，且a+b=2，可得（a-1）+b=1．變形$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$=[（a-1）+b]$（\frac{1}{a-1}+\frac{2}{b}）$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵a＞1，b＞0，且a+b=2，∴（a-1）+b=1．
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$=[（a-1）+b]$（\frac{1}{a-1}+\frac{2}{b}）$=3+$\frac{b}{a-1}$+$\frac{2（a-1）}{b}$≥3+2$\sqrt{\frac{b}{a-1}×\frac{2（a-1）}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當b=2-$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$時取等號．
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}{b}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．