Question

已知函數(shù)f(x)=sinωx+

3

cosωx(ω＞0)的周期為π．
（1）若x∈[0，+∞），求它的振幅、初相；
（2）在給定的平面直角坐標系中作出該函數(shù)在x∈[0，π]的圖象；
（3）當x∈[0，π]時，根據(jù)實數(shù)m的不同取值，討論函數(shù)g（x）=f（x）-m的零點個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡，然后即可求它的振幅、初相；
（2）根據(jù)五點作圖法，即可在給定的平面直角坐標系中作出該函數(shù)在x∈[0，π]的圖象；
（3）當x∈[0，π]時，根據(jù)實數(shù)m的不同取值，結合函數(shù)f（x）的圖象即可討論函數(shù)g（x）=f（x）-m的零點個數(shù)．

解答：解：（1）化為f(x)=2sin(ωx+

π

3

)，
由T=π得，ω=2即f(x)=2sin(2x+

π

3

)，
（1）函數(shù)的振幅是A=2，初相為φ=

π

3

；         
（2）列表

x	0	π 12	π 3	7π 12	5π 6	π
2x+ π 3	π 3	π 2	π	3π 2	2π	7π 3
f（x）	3	2	0	-2	0	3

（3）函數(shù)g（x）=f（x）-m在x∈[0，π]的零點個數(shù)，即函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

3

)x∈[0，π]與函數(shù)y=m的交點個數(shù)，由（2）圖象知：
①當m＜-2或m＞2時，函數(shù)g（x）無零點；
②當m=±2時，函數(shù)g（x）僅有一個零點；
③當-2＜m＜

3

或

3

＜m＜2時，函數(shù)g（x）有兩個零點；
④當m=

3

時，函數(shù)g（x）有三個零點．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．