Question

三次函數f（x），當x=1時有極大值4；當x=3時有極小值0，且函數圖象過原點，則f（x）=

x³-6x²+9x

．

Answer 1

分析：本題是據題意求參數的題，題目中x=1時有極大值4，當x=3時有極小值0，且函數圖象過原點，可轉化出五個等式，擇其四建立方程求解即可．

解答：解：設三次函數為f（x）=ax³+bx²+cx+d，
f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），
∵x=1時有極大值4，當x=3時有極小值0
∴f′（1）=3a+2b+c=0     ①
f′（3）=27a+6b+c=0     ②
f（1）=a+b+c+d=4      ③
又函數圖象過原點，所以d=0   ④
①②③④聯立得  a=1，b=-6，c=9
故函數f（x）=x³-6x²+9x
故答案為：x³-6x²+9x．

點評：本小題考點是導數的運用，考查導數與極值的關系，本題的特點是用導數一極值的關建立方程求參數---求函數的表達式．