Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=4，∠BCE=60°．
（1）證明：平面BAE⊥平面DAE；
（2）點P為線段AB上一點，求直線PE與平面DCE所成角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）取BE的中點O，連OC，OF，DF，可利用條件得OC∥FD，再利用條件證得OC⊥平面ABE即可得到平面ADE⊥平面ABE；
（2）以0為原點建立空間直角坐標系O-xyz，設出P點的坐標，分別求出直線PE的方向向量與平面DCE的法向量，代入向量夾角公式，求出直線PE與平面DCE所成角正弦值的取值范圍，進而可以確定直線PE與平面DCE所成角的取值范圍．

解答：解：（1）證明：取BE的中點O，連OC，OF，DF，則2OF與BA平行且相等（2分）
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD與BA平行且相等，
∴OF與CD平行且相等，
∴OC∥FD（4分）
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．
從而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
（2）以0為原點建立空間直角坐標系O-xyz，如圖，
則已知條件有：C（2

3

，0，0），D（2

3

，0，2），E（0，-2，0）
平面DCE的一個法向量記為

t

=（x，y，z）
則

t • CD =0 t • EC =0

，即

2z=0 2 3 x+2y=0

∴

t

=（1，-

3

，0）…9分
令直線PE與平面DCE所成角為θ
設P（0，2，Z），（0≤Z≤4）
則sinθ=

| t • EP |

| t |•| EP |

=

2 3

16+z2

…11分
∵0≤Z≤4
∴

6

4

≤

2 3

16+z2

≤

3

2

∴直線PE與平面DCE所成角的范圍為[arcsin

6

4

，

π

3

]…12分

點評：本題考查的知識點是向量語言表述面面的垂直、平行關系，用空間向量求直線與平面的夾角，其中建立空間坐標系，將空間線面關系及線面夾角問題轉化為向量的夾角問題是解答本題的關鍵．