Question

（2012•淮南二模）如圖，在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BE=BC，AE⊥BE，M為CE上一點，且BM⊥面ACE．
（1）求證：AE⊥BC；
（2）若點N為線段AB的中點，求證：MN∥面ADE；
（3）若 BE=4，CE=4

2

，且二面角A-BC-E的大小為45°，求三棱錐C-ABE的體積．

Answer 1

分析：（1）證明BM⊥AE，AE⊥BE，可得AE⊥面BCE，從而可得AE⊥BC；
（2）取DE中點P，連接PM，AP，證明AMNP為平行四邊形，從而可證MN∥面ADE；
（3）證明∠ABE為二面角A-BC-E的平面角，可得AE=BE=4，從而可求三棱錐C-ABE的體積．

解答：（1）證明：∵BM⊥面ACE，AE?面ACE，∴BM⊥AE
∵AE⊥BE，BM∩BE=B
∴AE⊥面BCE
∵BC?面BCE
∴AE⊥BC；
（2）解：取DE中點P，連接PM，AP
∵BC=BE，BM⊥AE
∴M為CE的中點
∴MP∥

1

2

DC∥AN
∴AMNP為平行四邊形
∴MN∥AP
∵MN?面ADE，AP?面ADE
∴MN∥面ADE
（3）解：由BE=BC=4，CE=4

2

得BC⊥BE
∵BC⊥AE，AE∩BE=E
∴BC⊥面ABE
∴∠ABE為二面角A-BC-E的平面角
∴∠ABE=45°
∴AE=BE=4
∴三棱錐C-ABE的體積

1

3

×

1

2

×4²×4=

32

3

．

點評：本題考查線面位置關系，考查線面平行，線面垂直，考查線線垂直，考查三棱錐的體積，掌握線面平行，線面垂直的判定方法是關鍵．