Question

已知2+ai，b+i（其中a，b∈R）是實系數一元二次方程x²+px+q=0的兩個根．
（1）求a，b，p，q的值；
（2）計算：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于實系數一元二次方程x²+px+q=0仍然滿足韋達定理（一元二次方程根與系數的關系），我們易根據2+ai，b+i是實系數一元二次方程x²+px+q=0在復數范圍內的兩個根，構造關于p，q的方程，解方程即可求出a，b，p，q的值．
（2）根據a，b，p，q的值，利用復數的乘除運算法則，能夠計算的值．
解答：解：（1）∵2+ai，b+i（其中a，b∈R）是實系數一元二次方程x²+px+q=0的兩個根，
∴，
即，
∴，
解得a=-1，b=2，
∴p=-4，q=5，
故b=2，a=-1，p=-4，q=5．（每一個值2分）…（8分）
（2）∵b=2，a=-1，p=-4，q=5，
∴=．…（6分）
點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，復數的基本概念，其中根據實系數一元二次方程仍然滿足韋達定理（一元二次方程根與系數的關系），結合已知條件構造關于p，q的方程，是解答本題的關鍵．