【題目】已如橢圓E：
（
）的離心率為
，點
在E上.
（1）求E的方程：
（2）斜率不為0的直線l經過點
，且與E交于P，Q兩點，試問：是否存在定點C，使得
？若存在，求C的坐標：若不存在，請說明理由
【答案】（1）
（2）存在x軸上的定點
，使得
【解析】
（1）根據橢圓離心率和過的點，得到關于
，
的方程組，解得，的值，從而得到橢圓的方程；（2）設存在定點
，對稱性可知設
，根據，得到
，即得
，直線
的方程為：
與橢圓聯立，得到
，
，從而得到
和
的關系式，根據對
恒成立，從而得到的值.
（1）因為橢圓E的離心率
，所以
①，
點
在橢圓上，所以
②，
由①②解得
，
.
故E的方程為.
（2）假設存在定點，使得.
由對稱性可知，點必在
軸上，故可設.
因為，所以直線
與直線
的傾斜角互補，因此.
設直線的方程為：，
，
由
消去，得
，
，所以，
所以
，
，
因為，所以，
所以
，即
.
整理得
，
所以
，即
.
所以
，即
，對恒成立，
即
對恒成立，所以
.
所以存在定點，使得.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》是我國古代數學名著,它在幾何學中的研究比西方早1000多年,在《九章算術》中,將底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵
中,
.
(1)求證:四棱錐
為陽馬;
(2)若
,當鱉膈
體積最大時,求銳二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，焦距為
，與拋物線
有公共焦點
.
（1）求橢圓C1與拋物線
的方程；
（2）已知直線
是圓
的一條切線，與橢圓C1交于
兩點，若直線斜率存在且不為
，在橢圓C1上存在點
，使
，其中
為坐標原點，求實數λ的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年電商“雙十一”大戰即將開始.某電商為了盡快占領市場，搶占今年“雙十一”的先機，對成都地區年齡在15到75歲的人群“是否網上購物”的情況進行了調查，隨機抽取了100人，其年齡頻率分布表和使用網上購物的人數如下所示：（年齡單位：歲）
年齡段 |
|
|
|
|
|
|
頻率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
購物人數 | 8 | 28 | 24 | 12 | 2 | 1 |
（1）若以45歲為分界點，根據以上統計數據填寫下面的
列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“網上購物”與年齡有關？
年齡低于45歲 | 年齡不低于45歲 | 總計 | |
使用網上購物 | |||
不使用網上購物 | |||
總計 |
（2）若從年齡在
的樣本中隨機選取2人進行座談，求選中的2人中恰好有1人“使用網上購物”的概率.
參考數據：
| 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，傾斜角為
的直線
的參數方程為
（
為參數）.在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）若直線與曲線交于
，
兩點，且
，求直線的傾斜角.
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