Question

15．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-b{x^2}$+2x-a，x=2是f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當a＞0時，求方程f（x）=0的解的個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據f′（2）=0，求出b的值，從而求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）求出函數的單調區間，得到函數的極大值和極小值，通過討論a的范圍，判斷f（1），f（2）的符號，從而求出方程解的個數即可．

解答 解：（I）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一個極值點，
∴f′（2）=2²--4b+2=0，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x-a
∴f′（x）=x²-3x+2，令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞2．
∴函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（1）=$\frac{5}{6}$-a，f（x）_極小值=f（2）=$\frac{2}{3}$-a，
a＞$\frac{5}{6}$時，f（1）＜0，方程f（x）=0有1個解，
a=$\frac{5}{6}$時，f（1）=0，方程f（x）=0有2個解，
$\frac{2}{3}$＜a＜$\frac{5}{6}$時，f（1）＞0，f（2）＜0，方程f（x）=0有3個解，
a=$\frac{2}{3}$時，f（1）＞0，f（2）=0，方程f（x）=0有2個解，
a＜$\frac{2}{3}$時，f（1）＞0，f（2）＞0，方程f（x）=0有1個解．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．