Question

已知橢圓C：的右焦點為F（1，0），短軸的端點分別為B₁，B₂，且=-a．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于M，N兩點，弦MN的垂直平分線與x軸相交于點D．設弦MN的中點為P，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數量積即可得到1-b²=-a，又a²-b²=1，即可解得a、b；
（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系即可得到線段MN的中點P的坐標，利用弦長公式即可得到|MN|，利用點斜式即可得到線段MN的垂直平分線DP的方程，利用兩點間的距離公式或點到直線的距離公式即可得到|DP|，進而得出的關于斜率k的表達式，即可得到其取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意不妨設B₁（0，-b），B₂（0，b），則，．
∵=-a，∴1-b²=-a，又∵a²-b²=1，解得a=2，．
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）由題意得直線l的方程為y=k（x-1）．
聯立得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，．
∴弦MN的中點P．
∴|MN|===．
直線PD的方程為．
∴|DP|=．
∴===．
又∵k²+1＞1，∴，
∴．
∴的取值范圍是．
點評：熟練掌握直線與橢圓的相交問題轉化為一元二次方程根與系數的關系、線段MN的中點坐標公式、弦長公式、點斜式、線段的垂直平分線的方程、兩點間的距離公式或點到直線的距離公式、不等式的性質是解題的關鍵..