Question

已知橢圓C：的右焦點為F，離心率，橢圓C上的點到F的距離的最大值為，直線l過點F與橢圓C交于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意心率，橢圓C上的點到右焦點F的距離的最大值為，可以建立關于a，b，c的方程解出即可；
（2）由題意分設出直線的方程把直線方程與橢圓方程進行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式求解即可建立方程求得．
解答：解：（1）由題意知，，
所以，從而b=1，
故橢圓C的方程為
（2）容易驗證直線l的斜率不為0，故可設直線l的方程為x=my+1，代入中，
得（m²+2）y²+2my-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由根與系數(shù)的關系，得       ，
     =，
解得m=±，
所以直線l的方程為，即或．
點評：此題考查了橢圓的標準方程及其基本性質(zhì)，求解時用到了方程的思想，還考查了直線方程與橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關系設而不求整體代換的思想，還考查了弦長公式．