Question

函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x存在單調遞減區間，則a的范圍

（-1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據函數的解析式可求得函數的定義域，求導，由函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x存在單調遞減區間，轉化為導數小于零在（0，+∞）有解，然后采用分離參數即可求得a的范圍．

解答：解：∵函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x的定義域為（0，+∞），
且函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-2x存在單調遞減區間
∴f′(x)=

1

x

- ax -2=

-ax2-2x+1

x

＜0在（0，+∞）有解，
即-ax²-2x+1＜0在（0，+∞）有解，
故a＞

-2x+1

x2

=

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1在（0，+∞）有解，
∴a＞-1，
故a的范圍為（-1，+∞）．
故答案為：（-1，+∞）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，根據題意，轉化為導數小于零在（0，+∞）有解，是解題的關鍵，分離參數法簡化運算，考查運算能力，屬中檔題．