Question

（1）如圖，D是Rt△ABC的斜邊AB上的中點，E和F分別在邊AC和BC上，且ED⊥FD，求證：EF²=AE²+BF²（EF²表示線段EF長度的平方）（嘗試用向量法證明）
（2）已知函數f（x）=x³-3x圖象上一點P（1，-2），過點P作直線l與y=f（x）圖象相切，但切點異于點P，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）連接EF，取EF的中點為G，
又D是Rt△ABC的斜邊AB上的中點，
∴=++，=++，
兩式相加，注意到，，
得，又在直角三角形EFD中，，
故，即
又AC⊥BC，展開上式即EF²=AE²+BF²
得證． （6分）
（其他方法也給分，向量的代數運算要引起學生的關注）
（2）設為（x₀，y₀）函數f（x）=x³-3x圖象上任一點，
易得f′（x）=3x²-3，則，
故（x₀，y₀）處切線為
又知過P（1，-2）點，代入解方程得：x₀=1（舍），
故所求直線的斜率，從而切線方程為：9x+4y-1=0（12分）
分析：（1）連接EF，取EF的中點為G，根據向量的加法法則得，又，從而有，又AC⊥BC，展開上式即得證．
（2）由已知可得斜率函數為f′（x）=3x²-3，進而求出所過點切線的斜率，設另一切點為（x₀，y₀），代入點斜式公式，求出該點切線方程，再由條件計算．
點評：本題主要考查的是向量在幾何中的應用、直線的點斜式方程的求解、導數的幾何意義等，屬于基礎題．