Question

【題目】已知拋物線過點(diǎn)，拋物線在處的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，直線、、分別與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)、、，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（Ⅰ）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證：為線段的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可得出拋物線的方程，并可求出拋物線的準(zhǔn)線方程，求出切線的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線的交點(diǎn)為、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，由此可證得結(jié)論成立.

（Ⅰ）由拋物線過點(diǎn)，得，

所以拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為．

設(shè)切線的方程為，

由，得，

則，

從而的方程為，得；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線的交點(diǎn)為、．

由，得，則，．

因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線的方程為，結(jié)合，從而直線，

可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理點(diǎn)的坐標(biāo)為．

因?yàn)?/span>，

故為線段的中點(diǎn)．