Question

【題目】已知橢圓 過點（0，﹣2），F1 ， F2分別是其左、右焦點，O為坐標原點，點P是橢圓上一點，PF1⊥x軸，且△OPF1的面積為 ，
（1）求橢圓E的離心率和方程；
（2）設A，B是橢圓上兩動點，若直線AB的斜率為 ，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得：b=2．由PF1⊥x軸，把x=c代入題意可得： + =1，解得y= ．

∵△OPF1的面積為 ，∴ = ，可得： = =e，又a2=b2+c2，

聯立解得a2=8，c=2．

∴橢圓E的方程為： =1

（2）解：設直線AB的方程為：y=﹣ x+t，與橢圓方程聯立可得：9x2﹣8tx+16t2﹣64=0．

△=64t2﹣36（16t2﹣64）＞0，解得 ＜t＜ ．

∴x1+x2= ，x1x2= ，

∴|AB|= = = ．

點O到直線AB的距離d= ．

∴S△OAB= |AB|d= ≤ × =2 ．當且僅當t= 時取等號，滿足△＞0．

∴△OAB面積的最大值為2

【解析】（1）由題意可得：b=2．由PF1⊥x軸，把x=c代入題意可得： + =1，解得y= ．可得 = ，可得： = =e，又a2=b2+c2，聯立解得a2，c．即可得出．（2）設直線AB的方程為：y=﹣ x+t，與橢圓方程聯立可得：9x2﹣8tx+16t2﹣64=0．△＞0，利用根與系數的關系可得：|AB|= ．點O到直線AB的距離d= ．可得S△OAB= |AB|d，利用基本不等式的性質即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢圓,這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．