Question

已知函數f(α)=4

2

sin(2α-

π

4

)+2，在銳角三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面積為3，b+c=2+3

2

，則a的值為（　　）

• A．10
• B．

  10

• C．

  π

  4

• D．

  π

  3

Answer 1

分析：根據f（A）=6，利用f（α）表達式解出sin(2A-

π

4

)=

2

2

，結合A為銳角并利用正弦函數的圖象，解出A=

π

4

．由△ABC的面積為3，利用三角形面積公式算出bc=6

2

，結合b+c=2+3

2

利用余弦定理加以計算，可得邊a的值．

解答：解：∵f(α)=4

2

sin(2α-

π

4

)+2，f（A）=6，
∴4

2

sin(2A-

π

4

)+2=6，解之得sin(2A-

π

4

)=

2

2

，
∵A∈（0，

π

2

），得2A-

π

4

∈（-

π

4

，

3π

4

），∴2A-

π

4

=

π

4

，解得A=

π

4

．
∵△ABC的面積為3，∴

1

2

bcsinA=3，即

1

2

bc×

2

2

=3，解得bc=6

2

，
又∵b+c=2+3

2

，∴b²+c²=（b+c）²-2bc=（2+3

2

）²-2×6

2

=22，
根據余弦定理，可得a²=b²+c²-2bccosA=22-2×6

2

×cos

π

4

=10，
∴a=

10

（舍負）．
故選：B

點評：本題給出三角形滿足的條件，求邊a之值，著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面積公式與三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．