Question

設F₁、F₂為橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的兩個焦點，過橢圓中心任作一條直線與橢圓交于P、Q兩點，當四邊形PF₁QF₂的面積最大時，

PF1

•

PF2

的值等于

 

．

Answer 1

分析：F₁、F₂為橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的兩個焦點，過橢圓中心任作一條直線與橢圓交于P、Q兩點，當四邊形PF₁QF₂的面積最大時，可判斷出此時點P，Q恰好是橢圓的短軸的端點，此時PF₁=PF₂=a，可求得∠F₁PF₂=90°，由此可求出

PF1

•

PF2

的值

解答：解：由題意當四邊形PF₁QF₂的面積最大時，點P，Q恰好是橢圓的短軸的端點此時PF₁=PF₂=2，
又橢圓

x2

4

+

y2

2

=1
故有a=2，b=

2

，代入a²=b²+c²，解得c=

2

即b=c，由此得∠F₁PF₂=90°，
即

PF1

⊥

PF2

所以

PF1

•

PF2

的值等于0
故答案為：0．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，解題的關鍵是根據題設條件得出a，b，c三個量之間的關系，由此關系判斷出橢圓的四邊形PF₁QF₂的面積最大時，兩向量的夾角，再由向量的數量積公式求出數量積．