Question

設F₁，F₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，若△ABF₂為銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先依據條件求出AF₁的長度，由題意知∠AF₂F₁  小于45°，由 tan∠AF₂F₁＜1 建立關于a、c的不等式，
轉化為關于e的不等式，解此不等式求出離心率e的范圍，再結合 0＜e＜1 得到準確的離心率e的范圍．

解答：解：由題意知∠AF₂F₁  小于45°，故 tan∠AF₂F₁  ;=

|AF1|

|F1F2|

＜1，即  

b2 a

2c

＜1，
b²＜2ac，a²-c²＜2ac，e²+2e-1＞0，∴e＞

2

-1，或 e＜-1-

2

 （舍去）．
又 0＜e＜1，故有  

2

-1＜e＜1，
故答案為：

2

-1＜e＜1．

點評：本題考查橢圓的標準方程和簡單的性質，利用∠AF₂F₁ 小于45°，tan∠AF₂F₁＜1求出e的范圍，將此范圍與 0＜e＜1取交集．