Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=2x-x²．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）畫出函數y=f（x）的圖象，并指出f（x）的單調區間及在每個區間上的增減性；
（3）若函數y=f（x）的定義域為[a，b]，值域為[

1

b

，  

1

a

] (1≤a＜b)，求實數a、b的值．

Answer 1

分析：（1）由x＜0可得-x＞0，結合x≥0時，f（x）=2x-x²，可求x＜0時的函數解析式，進而可求f（x）
（2）結合函數的圖象可判斷函數的單調性及單調區間
（3）由f（x）在[1，+∞）上是減函數，且1≤a＜b可得f（x）在[a，b]上是減函數，若函數y=f（x）的定義域為[a，b]，值域為[

1

b

，  

1

a

] (1≤a＜b)，則可得

f(a)= 1 a f(b)= 1 b

，代入可求a，b

解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-[2（-x）-（-x）²]=2x+x²（2分）
∴f（x）的解析式為  f(x)=

2x-x2 (x≥0) 2x+x2 (x＜0)

（4分）
（2）f（x）的圖象如右圖：f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是減函數f（x）在[-1，1]上是增函數（9分）
（3）∵f（x）在[1，+∞）上是減函數，且1≤a＜b，∴f（x）在[a，b]上是減函數
∴

f(a)= 1 a f(b)= 1 b

（10分）
即 

2a-a2= 1 a 2b-b2= 1 b

（12分）?

(a-1)(a2-a-1)=0 (b-1)(b2-b-1)=0

，
解得 

a=1 或 a= 1± 5 2 b=1 或 b= 1± 5 2

∵1≤a＜b，∴

a=1 b= 1+ 5 2

（13分）

點評：本題主要考查了利用函數的奇偶性求解函數的解析式，由函數的圖象判斷函數的單調性及單詞區間，利用二次函數的單調性求解函數的值域，屬于函數知識的綜合應用．