Question

已知函數f(x)=asin(2x-

π

6

)+b
（1）若x∈[0，

π

2

]時f（x）的值域為[4，10]，求a×b的值；
（2）若a=1，求函數y=f（-x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）x∈[0，

π

2

]，知-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，由x∈[0，

π

2

]時，函數f(x)=asin(2x-

π

6

)+b的值域為[4，10]，知：當a＞0時，

- a 2 +b=4 a+b=10 a＞0

；當a＜0時，

- a 2 +b=10 a+b=4 a＜0

，由此能求出a×b．
（2）當a=1時，f（x）=sin（2x-

π

6

）+b，f（-x）=sin（-2x-

π

6

）+b，故函數y=f（-x）的單調增區(qū)間滿足條件：-

π

2

+2kπ≤-2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．由此能求出當a=1時，函數y=f（-x）的單調增區(qū)間．

解答：解：（1）∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∵x∈[0，

π

2

]時，函數f(x)=asin(2x-

π

6

)+b的值域為[4，10]，
∴當a＞0時，在2x-

π

6

=-

π

6

時，f（x）_min=asin（-

π

6

）+b=-

a

2

+b=4，
在2x-

π

6

=

π

2

時，f（x）_max=asin

π

2

+b=a+b=10，
解方程組

- a 2 +b=4 a+b=10 a＞0

，得a=4，b=6，
∴a×b=24．
當a＜0時，在2x-

π

6

=-

π

6

時，f（x）_max=asin（-

π

6

）+b=-

a

2

+b=10，
在2x-

π

6

=

π

2

時，f（x）_min=asin

π

2

+b=a+b=4，
解方程組

- a 2 +b=10 a+b=4 a＜0

，得a=-4，b=8，
∴a×b=-32．
（2）當a=1時，f（x）=sin（2x-

π

6

）+b，
f（-x）=sin（-2x-

π

6

）+b，
∴函數y=f（-x）的單調增區(qū)間滿足條件：-

π

2

+2kπ≤-2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．
解得-

π

3

-kπ≤x≤

π

3

-kπ，k∈Z．
∴當a=1時，函數y=f（-x）的單調增區(qū)間為[-

π

3

-kπ，

π

3

-kπ]，k∈Z．

點評：本題考查三角函數的值域、單調區(qū)間的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．易錯點是容易忽視a＜0的情況．