Question

已知定義在R上的函數f（x）是奇函數且滿足，f（

3

2

-x）=f（x），f（-2）=-3，數列{a_n} 滿足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，（其中S_n為{a_n} 的前n項和）．則f（a₅）+f（a₆）=（　　）

A．3

B．-2

C．-3

D．2

Answer 1

分析：先確定f（x）是以3為周期的周期函數，再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63，由此即可求得結論．

解答：解：∵函數f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∵f（

3

2

-x）=f（x），∴f（

3

2

-x）=-f（-x）
∴f（3+x）=f（x），∴f（x）是以3為周期的周期函數．
∵a₁=-1，且S_n=2a_n+n，
∴a₂=-3，∴a₃=-7，a₄=-15，∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故選A．

點評：本題主要考查函數性質的轉化，考查數列的通項，考查學生的計算能力，確定f（x）是以3為周期的周期函數是關鍵．