Question

已知A是圓x²+y²=4上一點，過點A作x軸的垂線段，H是垂足，動點A₁滿足。
（1）求點A₁的軌跡C的方程；
（2）B是圓x²+y²=4上滿足條件的點，其中O是坐標原點，過點B也作x軸的垂線段，交軌跡C于點B₁，動點P滿足，求點P的軌跡D的方程；
（3）M是軌跡D上一動點，求點M到直線AB的最大距離并求出對應的點M的坐標。

Answer 1

解：（1）設A₁（x，y），A（m，n）
則m²+n²=4（*）
由于，且AH⊥x軸，
所以代入（*），得x²+4y²=4，
即為所求點A₁的軌跡C的方程。
（2）設P（x，y），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），則
，
從而A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂），
由于，
所以
進而有x₁x₂+4y₁y₂=0 ③
根據可得（x-x₁，y-y₁）+2（x₂-x，y₂-y）=（0，0），
即
由④²+4×⑤²，并結合①②③，
得

=4×4+4-4×0=20
所以動點P的軌跡D的方程為x²+4y²=20。
（3）由于線段AB是圓x²+y²=4的長度為2的定長弦，
所以直線AB始終與圓x²+y²=2相切，
令切點為T，則根據幾何意義可知點M到直線AB的距離總是滿足d≤|MO|+|OT|=|MO|+

因此點M到直線AB的最大距離是，并且當直線AB的方程是時，點M的坐標是，當直線AB的方程是時，點M的坐標是。