Question

已知A是圓x²+y²=4上任一點，AB垂直于x軸，交x軸于點B．以A為圓心、AB為半徑作圓交已知圓于C、D，連接CD交AB于點P，求點P的軌跡方程．

Answer 1

解：設點A的坐標為A（2cosα，2sinα），則以A為圓心、AB為半徑的圓的方程為：
（x-2cosα）²+（y-2sinα）²=4sin²α．
聯立已知圓x²+y²=4的方程，相減，可得公共弦CD的方程為：
xcosα+ysinα=1+cos²α． （1）
而AB的方程是 x=2cosα． （2）
所以滿足（1）、（2）的點P的坐標為（2cosα，sinα），消去α，即得
點P的軌跡方程為x²+4y²=4．
分析：設點A的坐標為A（2cosα，2sinα），由以A為圓心、AB為半徑的圓的方程及已知圓x²+y²=4的方程，求得公共弦CD的方程，再與AB的方程聯立得到點P的坐標為（2cosα，sinα），消去α，由此能求出點Q的軌跡方程．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓的相關知識，解題時要注意合理地利用參數進行等價轉化．