Question

已知對于?x∈[0，1]，不等式2^ax²+4x（x-1）+4^-a（x-1）²＞0恒成立，則實數a的取值范圍是

（-∞，-2）

．

Answer 1

分析：把不等式的左邊化簡整理，化為關于x的一元二次不等式，分析二次函數的對稱軸，對稱軸在（0，1）內，
所以只需二次不等式所對應的二次函數的最小值大于0即可，由此列式求得a的取值范圍．

解答：解：由2^ax²+4x（x-1）+4^-a（x-1）²＞0，
得（2^a+4+4^-a）x²-（4+2•4^-a）x+4^-a＞0．
令f（x）=（2^a+4+4^-a）x²-（4+2•4^-a）x+4^-a．
對稱軸方程為x=

2+4-a

2+4-a+2+2a

∈（0，1）．
∴對于?x∈[0，1]，不等式2^ax²+4x（x-1）+4^-a（x-1）²＞0恒成立，
等價于

4•4-a(2a+4+4-a)-(4+2•4-a)2

4•(2a+4+4-a)

＞0恒成立．
整理得，2^2-a＞2⁴，解得a＜-2．
∴實數a的取值范圍是（-∞，-2）．
故答案為（-∞，-2）．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了二次函數在閉區間上的最值，考查了計算能力，是中檔題．