Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC為直角，D，E分別為BC，AC的中點，AB=2PA=4．
（1）在BC上是否存在一點F，使AD∥平面PEF？請說明理由；
（2）對于（1）中的點F，求三棱錐F-PDE的高．

Answer 1

分析：（1）取CD中點F，連接EF、PE，則利用三角形中位線定理結合線面平行的判定定理，可以證明AD∥平面PEF；
（2）因為三棱錐F-PDE的體積等于三棱錐P-FDE的體積，利用線面垂直的性質結合解三角形，分別求出S_△DEF和S_△PDE，利用等體積轉換，即可算出F到平面PDE的距離d．

解答：解：（1）取CD中點F，連接EF、PE，則AD∥平面PEF，證明如下
∵△ACD中，E、F分別是AC、CD的中點，∴EF∥AD
∵EF⊆平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF，即存在CD中點F，使AD∥平面PEF
（2）連接DE、DP，設F到平面PDE的距離為d
∵AB=AC=4，∠BAC為直角，∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=8
又∵AD是△ABC的邊BC上的中線，EF是△ACD的中位線
∴S_△DEF=

1

8

S_△ABC=1
∵PA⊥平面ABC，AC、AD⊆平面ABC，
∴Rt△PAE中，PE=

PA2+AE2

=2

2

，Rt△PAD中，PD=

PA2+AD2

=2

3

又∵DE是△ABC的中位線，∴DE=

1

2

AB=2
∴△PDE中，PE²+DE²=12=PD²，可得S_△PDE=

1

2

PE•DE=2

2

，
由此可得三棱錐F-PDE體積V=

1

3

S_△DEF×PA=

1

3

S_△PDE×d
∴F到平面PDE的距離為：d=

S△DEF×PA

S△PDE

=

1×2

2 2

=

2

2

點評：本題給出一條側棱垂直于底且底面是等腰直角三角形的三棱錐，求證線面平行并且求點到平面的距離，著重考查了線面平行的判定、線面垂直的性質和正余弦定理解三角形等知識，屬于基礎題．