Question

【題目】某商場欲經銷某種商品，考慮到不同顧客的喜好，決定同時銷售A、B兩個品牌，根據生產廠家營銷策略，結合本地區以往經銷該商品的大數據統計分析，A品牌的銷售利潤y1與投入資金x成正比，其關系如圖1所示，B品牌的銷售利潤y2與投入資金x的算術平方根成正比，其關系如圖2所示（利潤與資金的單位：萬元）．

（1）分別將A、B兩個品牌的銷售利潤y1、y2表示為投入資金x的函數關系式；
（2）該商場計劃投入5萬元經銷該種商品，并全部投入A、B兩個品牌，問：怎樣分配這5萬元資金，才能使經銷該種商品獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？

Answer 1

【答案】
（1）解：因為A品牌的銷售利潤y1與投入資金x成正比，

設y1=k1x（x＞0），

又過點（2，0.5），解得 ，

所以 ；

B品牌的銷售利潤y2與投入資金x的算術平方根成正比，

設y2=k2 （x＞0），又過點（4，1.5），即有1.5=2k2，

解得k2= ，

所以y2= （x＞0）

（2）解：設總利潤為y，投入B品牌為x萬元，則投入A品牌為（5﹣x）萬元，

則 ，

令 ，

則 = ，

當 時，即 時，投入A品牌為： ， ．

答：投入A品牌 萬元、B品牌 萬元時，經銷該種商品獲得最大利潤，最大利潤為 萬元．

【解析】（1）設y1=k1x（x＞0），y2=k2 （x＞0），分別代入點（2，0.5）和（4，1.5），解方程即可得到所求函數的解析式；（2）設總利潤為y，投入B品牌為x萬元，則投入A品牌為（5﹣x）萬元，則 ，令 ，運用二次函數在閉區間上最值的求法，可得y的最大值．