Question

已知一個等比數列的前三項的積為3，后三項的積為9，且所有項的積為243，則該數列的項數為

10

．

Answer 1

分析：由題意可得 a₁a_n =3，再由所有項的積為a₁•a₁q•a₁q2 …a₁q^n-1=243=3⁵  ①，倒序可得 a₁q^n-1…a₁q²•a₁q•a₁=3⁵  ②，把①②對應項相乘可得
  (a1 2•   qn-1)n=(a1 •a n)n=3ⁿ=3⁵•3⁵ =3¹⁰，由此解得 n的值．

解答：解：設等比數列為{a_n}，公比為q，由題意可得 a₁a₂a₃=3，且 a_n-2a_n-1a_n=9，兩式相乘可得 a₁a_n =3．
再由所有項的積為a₁•a₁q•a₁q² …a₁q^n-1=243=3⁵ ①，
倒序可得 a₁q^n-1…a₁q²•a₁q•a₁=3⁵ ②，
把①②對應項相乘可得 (a1 2•   qn-1)n=(a1 •a n)n=3ⁿ=3⁵•3⁵ =3¹⁰，解得 n=10，
故答案為 10．

點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，屬于中檔題．