Question

給定實數集合P、Q滿足P={x|sin²[x]+sin²{x}=1}（其中[x]表示不超過x的最大整數，{x}=x-[x]），，設|P|，|Q|分別為集合P、Q的元素個數，則|P|，|Q|的大小關系為________．

Answer 1

|P|＜|Q|
分析：先根據已知條件化簡集合P，再根據二倍角的余弦公式化簡集合Q，通過列舉判斷出兩個集合的關系．
解答：∵[x]≤x＜[x]+1，
∴0≤{x}=x-[x]＜1，
由sin²[x]+sin²{x}=1可得 sin²[x]=cos²{x}，
所以[x]=kπ++{x}，
Q={x|sin²x+sin²（x+）= }={x|sin²x+sin²x+cos²x+sinxcosx=}
={x|++sin2x=}={x|sin2x-cos2x=1}={x| 或 }，
={x|2x=2kπ+，或2x=2kπ+π }
={x|x=kπ+ 或x=kπ+，k∈Z}．
∵|P|，|Q|分別為集合P、Q的元素個數，
∴|P|＜|Q|，
故答案為|P|＜|Q|；
點評：本題考查判斷兩個集合的關系應該先化簡兩個集合，再利用集合的交、并、補的定義進行判斷，屬于中檔題．