Question

給定實數集合P、Q滿足P={x|sin²[x]+sin²{x}=1}（其中[x]表示不超過x的最大整數，{x}=x-[x]），Q={x|sin2x+sin2(x+

π

4

)=

3

2

}，設|P|，|Q|分別為集合P、Q的元素個數，則|P|，|Q|的大小關系為

|P|＜|Q|

．

Answer 1

分析：先根據已知條件化簡集合P，再根據二倍角的余弦公式化簡集合Q，通過列舉判斷出兩個集合的關系．

解答：解：∵[x]≤x＜[x]+1，
∴0≤{x}=x-[x]＜1，
由sin²[x]+sin²{x}=1可得 sin²[x]=cos²{x}，
所以[x]=kπ+

π

2

+{x}，
  Q={x|sin²x+sin²（x+

π

4

）=

3

2

}={x|sin²x+

1

2

sin²x+

1

2

cos²x+sinxcosx=

3

2

}
={x|

1-cos2x

2

+

1

2

+

1

2

sin2x=

3

2

}={x|sin2x-cos2x=1}={x|

sin2x=1 cos2x=0

  或

sin2x=0 cos2x=1

 }，
={x|2x=2kπ+

π

2

，或2x=2kπ+π }
={x|x=kπ+

π

4

  或x=kπ+

π

2

，k∈Z}．
∵|P|，|Q|分別為集合P、Q的元素個數，
∴|P|＜|Q|，
故答案為|P|＜|Q|；

點評：本題考查判斷兩個集合的關系應該先化簡兩個集合，再利用集合的交、并、補的定義進行判斷，屬于中檔題．