Question

在平面直角坐標系xOy中,F是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點,過M,F,O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準線的距離為.

(1)求拋物線C的方程;

(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.

(3)若點M的橫坐標為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A,B,l與圓Q有兩個不同的交點D,E,求當≤k≤2時,|AB|2+|DE|2的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）x2=2y （2）存在點M(,1) （3）

【解析】

解:(1)依題意知F,圓心Q在線段OF的垂直平分線y=上,

因為拋物線C的準線方程為y=-,

所以=,

即p=1.

因此拋物線C的方程為x2=2y.

(2)假設存在點M(x0>0)滿足條件,拋物線C在點M處的切線斜率為y′==x0,

所以直線MQ的方程為y-=x0(x-x0).

令y=得xQ=+.

所以Q（+,）.

又|QM|=|OQ|,

故（-）2+（-）2=（+）2+,

因此（-）2=.

又x0>0,

所以x0=,此時M(,1).

故存在點M(,1),

使得直線MQ與拋物線C相切于點M.

(3)當x0=時,由(2)得Q（,）,

☉Q的半徑為r==,

所以☉Q的方程為（x-）2+（y-）2=.

由

整理得2x2-4kx-1=0.

設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),

由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-,

所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=(1+k2)(4k2+2).

由

整理得(1+k2)x2-x-=0.

設D,E兩點的坐標分別為(x3,y3),(x4,y4),

由于Δ2=+>0,x3+x4=,

x3x4=-.

所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]

=+.

因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ +.

令1+k2=t,

由于≤k≤2,

則≤t≤5,

所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)++

=4t2-2t++,

設g(t)=4t2-2t++,t∈,

因為g′(t)=8t-2-,

所以當t∈時,g′(t)≥g′=6,

即函數g(t)在t∈上是增函數,

所以當t=時,g(t)取到最小值,

因此,當k=時,|AB|2+|DE|2取到最小值.