Question

【題目】已知函數f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值,且導函數f'(x)的極值點是f(x)的零點.(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)

(1)求b關于a的函數關系式,并寫出定義域;

(2)證明:b2>3a;

(3)若f(x),f'(x)這兩個函數的所有極值之和不小于-,求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）b=,定義域為(3,+∞)；（2）見解析；（3）a的取值范圍為(3,6].

【解析】試題分析：（1）先根據極值定義得x=-為導函數f'(x)的極值點，再根據f=0得b關于a的函數關系式,最后根據有極值條件得b-0,解得定義域;（2）因為.所以根據導數可得其單調性，根據單調性可證不等式（3）根據韋達定理化簡f(x),f'(x)這兩個函數的所有極值之和+2，消去b得-a2+,再利用導數研究其單調性，根據單調性解不等式，即得a的取值范圍.

試題解析：(1)解 由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3+b-.

當x=-時,f'(x)有極小值b-.

因為f'(x)的極值點是f(x)的零點,

所以f=-+1=0,又a>0,故b=.

因為f(x)有極值,故f'(x)=0有實根,從而b-(27-a3)≤0,即a≥3.

當a=3時,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函數,f(x)沒有極值;

當a>3時,f'(x)=0有兩個相異的實根x1=,

x2=.

列表如下:

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

故f(x)的極值點是x1,x2.

從而a>3.

因此b=,定義域為(3,+∞).

(2)證明 由(1)知,.

設g(t)=,則g'(t)=.

當t∈時,g'(t)>0,從而g(t)在上單調遞增.

因為a>3,所以a>3,故g(a)>g(3)=,即.

因此b2>3a.

(3)解 由(1)知,f(x)的極值點是x1,x2,且x1+x2=-a,.

從而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+1=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a()+b(x1+x2)+2=+2=0.

記f(x),f'(x)所有極值之和為h(a),因為f'(x)的極值為b-=-a2+,

所以h(a)=-a2+,a>3.

因為h'(a)=-a-<0,于是h(a)在(3,+∞)上單調遞減.

因為h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.

因此a的取值范圍為(3,6].