Question

設數列{a_n}是公差不為0的等差數列，S_n為其前n項和，數列{b_n}為等比數列，且a₁=b₁=2，S₂=5b₂，S₄=25b₃．
（I）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式a_n及b_n；
（II）設數列{c_n}滿足c_n=b_nS_n，問當n為何值時，c_n取得最大值？

Answer 1

分析：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，則S₂=4+d，S₄=8+6d，b₂=2q，b₃=2q²，再根據題意列方程組求出公差與公比，進而求出兩個數列的通項公式．
（II）由（I）可得：S_n=2n²，所以c_n=4n²•(

4

5

)n-1．假設C_n最大，根據題意可得：n≥2，所以

Cn≥Cn+1 Cn≥Cn+1

，即可求出n的范圍求出n的具體數值．

解答：解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，
則S₂=2a₁+d=4+d，S₄=4a₁+6d=8+6d，b₂=b₁q=2q，b₃=2q²，
根據題意可得：S₂=5b₂，S₄=25b₃，即

4+d=10q 8+6d=50q2

，
解得：

q= 4 5 d=4

或者

q= 2 5 d=0

（舍去），
因為a₁=b₁=2，數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}為等比數列，
所以a_n=4n-2，b_n=2•(

4

5

)n-1．
（II）因為S_n是等差數列{a_n}的前n項和，
所以S_n=2n²，所以c_n=b_nS_n=4n²•(

4

5

)n-1．
假設C_n最大，因為C₁=4，C₂=

64

5

，所以C₁＜C₂，所以n≥2．
由C_n最大，可得：

Cn≥Cn+1 Cn≥Cn-1

，即

4n2( 4 5 )n-1≥4(n+1)2( 4 5 )n 4n2( 4 5 )n-1≥4(n-1)2( 4 5 )n-2

，
化簡可得：

n2-8n-4≥0 n2-10n+5≤0

，
解得：4+

20

≤n≤5+

20

，
因為4＜

20

＜5，
所以8＜n＜10，所以n=9，
即當n=9時，C₉最大．

點評：解決此類問題的關鍵是數列掌握等差數列等比數列的通項公式與前n項和公式，以及數列掌握利用不等式的性質求數列的最大項，本題考查學生的運算能力與分析問題解決問題的基本能力．