Question

動圓P過定點F（1，0）且與直線x=-1相切，圓心P的軌跡為曲線C，過F作曲線C兩條互相垂直的弦AB，CD，設AB，CD的中點分別為M、N．
（1）求曲線C的方程；
（2）求證：直線MN必過定點．

Answer 1

分析：（1）由動圓P過定點F（1，0）且與直線x=-1相切，可得點P到定點F的距離等于到定直線x=-1的距離，利用拋物線的定義，可求曲線C的方程；
（2）求出M，N的坐標，可得直線MN的方程，即可得到結論．

解答：解：（1）∵動圓P過定點F（1，0）且與直線x=-1相切，
∴點P到定點F的距離等于到定直線x=-1的距離，
∴點P的軌跡為拋物線，曲線C的方程為y²=4x；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），代入y²=4x可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

∴x_M=

k2+2

k2

，∴y_M=k（x_M-1）=

2

k

∴M（

k2+2

k2

，

2

k

）
∵AB⊥CD，∴將M坐標中的k換成-

1

k

，可得N（2k²+1，-2k）
∴直線MN的方程為y+2k=

-2k- 2 k

2k2+1- k2+2 k2

（x-2k²-1）
整理得（1-k²）y=k（x-3）
∴不論k為何值，直線MN必過定點T（3，0）．

點評：本題主要考查拋物線的定義，考查直線恒過定點，確定直線的方程是關鍵．