Question

如圖，摩天輪的半徑為40m，圓心O距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處．
（1）經過4分鐘，點P距離地面的高度為多少？
（2）建立如圖所示坐標系，求點P距地面的高度h與時刻t（min）的函數關系，
（3）在摩天輪轉動的一圈內，有多長時間點P距地面超過70m？

Answer 1

【答案】分析：（1）因為摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，所以4分鐘后P點的位置可以由圖看出，利用解三角形可得P距離地面的高度；
（2）由圖形知，可以以點O在地面上的垂足為原點，OP所在直線為Y軸，過O在地面上的投影且與OP垂直的向右的方向為X軸建立坐標系，由起始位置在最低點，故可以得出點P的坐標，再由摩天輪作勻速轉動，每3min轉一圈，知T=3，可得角速度為弧度/分，再結合摩天輪的半徑為40m，O點距地面的高度為50m，即可得出確定在時刻tmin時P點距離地面的高度的函數；
（3）由（2）中的函數，令函數值大于70解不等式即可得出P點距離地面超過70m的時間．
解答：解：（1）因為摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，
則經過4分鐘P點的位置位于如圖所示：
所以經過4分鐘，點P距離地面的高度為50+40×sin30°=50+40×=70；
（2）由圖形知，可以以點O在地面上的垂足為原點，OP所在直線為Y軸，
與OP垂直的向右的方向為X軸建立坐標系，
由題意P（-，10），A=40，T=3，可得ω=，
故有點P離地面的高度h=40sin（t-）+50
即t時刻點P離地面的高度h=40sin（t-）+50；
（3）令40sin（t-）+50＞70得sin（t-）＞，
即有＜t-＜，解得1＜t＜2，
在旋轉一圈的三分鐘的時間里，從一分鐘開始高度大于70，二分鐘開始高度小于70，
故高度大于70的時間一周中有1分鐘．
答：一周中有1分鐘的時間高度超過70m．
點評：本題考查了已知三角函數模型的應用問題，解答本題的關鍵是建立符合條件的坐標系，得出相應的函數模型，作出正確的示意圖，然后再由三角形中的相關知識進行求解，解題時要注意綜合利用所學知識與題中的條件，求解三角形的邊與角，是中檔題．